## NCERT Solutions for Class 11 Maths

Free education is the right of every student. Ashish Kumar – Let’s Learn is providing deep and detailed explanations of full syllabus, all important questions, all important examples and all NCERT solutions for Class 11 Maths through videos on YouTube Channel as well as Blogs and PDFs on website.

Students can learn through videos and blogs and can ask their doubts on Website’s Discussion panel or on YouTube’s Comments Page. Students will also be provided notes, assignments, books and various other educational resources in electronic forms like PDFs, Docs, mp4 etc., which will help them to prepare for CBSE Class 12 Board Exams but more importantly for their upcoming life’s adventures.

You can easily access all chapters with NCERT Solutions for class 11 maths on this page:  https://www.ashishkumarletslearn.com/cbse/class-11/maths/

Following are summaries of chapter wise syllabus recommended by CBSE for Class 11 mathematics students with their YouTube as well as Website links.

Unit-I: Sets and Functions

1. Sets:

Sets and their representations. Empty set. Finite and Infinite sets. Equal sets. Subsets. Subsets of a set of real numbers especially intervals (with notations). Power set. Universal set. Venn diagrams. Union and Intersection of sets. Difference of sets. Complement of a set. Properties of Complement.

Ordered pairs. Cartesian product of sets. Number of elements in the Cartesian product of two finite sets. Cartesian product of the set of reals with itself (upto R x R x R). Definition of relation, pictorial diagrams, domain, co-domain and range of a relation. Function as a special type of relation. Pictorial representation of a function, domain, co-domain and range of a function. Real valued functions, domain and range of these functions, constant, identity, polynomial, rational, modulus, signum, exponential, logarithmic and greatest integer functions, with their graphs. Sum, difference, product and quotients of functions.

Positive and negative angles. Measuring angles in radians and in degrees and conversion from one measure to another. Definition of trigonometric functions with the help of unit circle. Truth of the identity sin2x+cos2x=1, for all x. Signs of trigonometric functions. Domain and range of trigonometric functions and their graphs. Expressing sin (x±y) and cos (x±y) in terms of sinx, siny, cosx & cosy and their simple applications. Deducing identities. Identities related to sin2x, cos2x, tan2x, sin3x, cos3x and tan3x. General solution of trigonometric equations of the type siny = sina, cosy = cosa and tany = tana.

Unit-II: Algebra

Process of the proof by induction, motivating the application of the method by looking at natural numbers as the least inductive subset of real numbers. The principle of mathematical induction and simple applications.

Need for complex numbers, especially √ , to be motivated by inability to solve some of the quadratic equations. Algebraic properties of complex numbers. Argand plane and polar representation of complex numbers. Statement of Fundamental Theorem of Algebra, solution of quadratic equations (with real coefficients) in the complex number system. Square root of a complex number.

Linear inequalities. Algebraic solutions of linear inequalities in one variable and their representation on the number line. Graphical solution of linear inequalities in two variables. Graphical method of finding a solution of system of linear inequalities in two variables.

Fundamental principle of counting. Factorial n. (n!) Permutations and combinations, derivation of formulae for and and their connections, simple applications.

History, statement and proof of the binomial theorem for positive integral indices. Pascal’s triangle, General and middle term in binomial expansion, simple applications.

Sequence and Series. Arithmetic Progression (A. P.). Arithmetic Mean (A.M.) Geometric Progression (G.P.), general term of a G.P., sum of n terms of a G.P., infinite G.P. and its sum, geometric mean (G.M.), relation between A.M. and G.M. Formulae for the following special sums.

Unit-III: Coordinate Geometry

10. Straight Lines:

Brief recall of two dimensional geometry from earlier classes. Shifting of origin. Slope of a line and angle between two lines. Various forms of equations of a line: parallel to axis, point -slope form, slope intercept form, two-point form, intercept form and normal form. General equation of a line. Equation of family of lines passing through the point of intersection of two lines. Distance of a point from a line.

## Unit-IV: Calculus

Derivative introduced as rate of change both as that of distance function and geometrically. Intuitive idea of limit. Limits of polynomials and rational functions trigonometric, exponential and logarithmic functions. Definition of derivative relate it to scope of tangent of the curve, derivative of sum, difference, product and quotient of functions. Derivatives of polynomial and trigonometric functions.

## आइये COORDINATE GEOMETRY शुरू करें!

COORDINATE = CO + ORDINATE

CO का मतलब होता है together और ORDINATE बना है order से |

GEOMETRY = GEO + METRY

GEO का मतलब होता है earth और METRY का मतलब to measure |

Geometry में हम अलग-अलग shapes के बारे में पढ़ते हैं | Generally, इसमें shapes की position या order पर ख़ास ध्यान नहीं दिया जाता | लेकिन Coordinate Geometry में हम उन shapes को उनकी proper positions और order के साथ पढ़ते हैं |

Mathematicians ने shapes की positions को define करने के लिए अलग-अलग तरह के systems बनाये हैं जिनमे दो सबसे ख़ास हैं, पहला Cartesian Coordinate System और दूसरा Polar Coordinate System. इस blog में हम Cartesian Coordinate System के बारे में जानेंगे |

CARTESIAN COORDINATE SYSTEM

ये system French Mathematician René Descartes के नाम पर रखा गया है | उसने ये system 1637 में दुनिया के आगे रखा था | इस system में mathematical shapes की positions और order को Straight Lines की मदद से represent किया जाता है | किसी shape की position को बताने के लिए कम से कम जितनी straight lines का इस्तेमाल किया जाता है, वो उतने ही dimension का system होता है | Example के लिए, जैसे की नीचे दिए diagram में दिख रहा हैं, एक rectangle के हर point की position को बताने के लिए दो perpendicular straight lines का इस्तेमाल किया जाता है इसलिए rectangle एक Two-Dimensional(2D) shape है और उस system को हम Two-Dimensional Cartesian Coordinate System कहते हैं | हम जिस दुनिया में रहते हैं वो एक Three-Dimensional(3D) World है क्योंकि इसमें हर object की position को represent करने के लिए कम से कम तीन straight lines की ज़रूरत होती है | हालांकि, हम 1D और 2D दोनों के बारे में पहले पढेंगे | इसके दो reasons हैं, पहला ये कि 3D को इन दोनों के बिना समझना बहुत मुश्किल हो जाता है और दूसरा कि practical life में आने वाली कई 3D problems को अगर 1D या 2D में convert कर लिया जाए तो उनको solve करना काफ़ी आसान हो जाता है |

इस series के अगले blog में हम 1D और 2D के basics के बारे में पढेंगे |

इस Topic पर Video देखने के लिए इस link पर click करें: https://www.youtube.com/watch?v=xQ7zMyDOF78

Class 10 Mathematics के Chapter 7 पर based lectures और NCERT Solutions आपको इस link पर मिल जाएंगे : https://www.ashishkumarletslearn.com/cbse/class-10/maths/ncert-solutions/coordinate-geometry/

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## आइये Sequences and Series समझें!

इस blog में आपको Sequences and Series के बारे में पूरी जानकारी मिलेगी जो कि CBSE  Class 11 की NCERT के chapter 9 पर based हैं | साथ में आपको उन Video lectures के links भी मिल जाएंगे जिनमें मैंने इसके सारे concepts और एक-एक NCERT exercise question को काफी deeply और details के साथ explain किया है |

#### Meaning of Sequence and Series

सबसे पहले शुरुआत करते हैं Sequence के नाम के साथ | Sequence का हिंदी में meaning होता है “क्रम” यानि कि numbers या objects का ऐसा group जो किसी particular order में आ रहा हो | ये particular order सभी numbers या objects के साथ एक जैसा ही होता है | Sequence शब्द का इस्तेमाल हम maths में numbers के particular orders के लिए करते हैं और उन numbers को sequence की terms कहा जाता है | Practical life में इसका इस्तेमाल किसी भी object के साथ किया जा सकता है | Example के लिए:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … ये एक ऐसी sequence है जिसकी हर term के बीच में 1 का difference है |

5, 10, 20, 40, 80, 160, … ये एक ऐसी sequence है जिसकी हर अगली term, पिछली term का twice या दूगना है |

इसी तरह से अनगिनत तरीकों से sequence बनाई जा सकती है | sequence में हर term को हम उसकी position के हिसाब से “variableposition” की form में represent करते हैं | जैसे कि पिछले पहले example को ही लेते है;

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

इसमें अगर variable मैं “a” लेता हूँ तो सभी terms को इस तरह से लिखा जायेगा:

a1=1,  a2=2,  a3=3,  a4=4,  a5=5,  a6=6,  a7=7, ….

अब बात करते हैं series की | जब हम किसी sequence की सभी terms के बीच में addition का sign लगाते हैं तो उस sequence को series कहा जाता है | अब पिछली दो sequence को ही लेते हैं | अगर उन्हें इस तरह से लिखें:

1+2+3+4+5+6+7+…

5+10+20+40+80+160+..

तो ये series बन जाती हैं | Sequence और series में सिर्फ़ इतना सा ही फ़र्क नहीं हैं | series को हम  summations की form में आसानी से लिख सकते हैं |

#### General Term

अब बात करते हैं कि sequence और series की terms के साथ काम कैसे किया जाता है ? जैसे कि ऊपर बताया, हर terms के बीच में एक particular order होता हैं जिसकी वजह से हम हर term को एक common पहचान दे सकते हैं | एक ऐसी पहचान जिस से उस sequence या series में आने वाली किसी भी term को find किया जा सके | उस पहचान को ही General term कहा जाता है | फिर से पिछले दो examples लेते हैं, लेकिन इस बार terms की positions के साथ |

पहली sequence:

 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7,…

अब इस sequence में जो term की position हैं वही term की value भी है, तो इसी common बात को देखते हुए इसकी general term होगी: an = n

दूसरी sequence को हमें थोडा modify करना होगा ताकि उनका common relation पता चल सके:

 5, 10, 20, 40, 80, 160,… 5(1), 5(2), 5(4), 5(8), 5(16), 5(32),… 5(2)0, 5(2)1, 5(2)2, 5(2)3, 5(2)4, 5(2)5,… a1 a2 a3 a4 a5 a6,…

इस sequence की हर term में 5(2) है और हर term में (2) की power term की position से एक कम है, तो इसकी general term होगी:  an=5(2)n-1

General term का सबसे बढ़ा फ़ायदा ये है कि हम इससे उस sequence या series में आने वाली कोई भी term find कर सकते हैं | जैसे कि दूसरी sequence की general term को अगर लिया जाए:

an=5(2)n-1

अब अगर इसकी 10th term हमें find करनी है तो बस n कि जगह पर 10 रखना होगा;

a50=5(2)10-1=5(2)9=5(512)=2560

इसका मतलब इस sequence की 10th term 2560 है |

इस blog पर based video lecture देखने के लिए यहाँ click करें: https://www.youtube.com/watch?v=I_wWn6KN1P0

Class 10 Mathematics के Chapter 5 पर based lectures और NCERT Solutions आपको इस link पर मिल जायेंगे: https://www.ashishkumarletslearn.com/cbse/class-10/maths/ncert-solutions/arithmetic-progression/

Class 11 Mathematics के Chapter 9 पर based lectures और NCERT Solutions आपको इस link पर मिल जायेंगे: https://www.ashishkumarletslearn.com/cbse/class-11/maths/ncert-solutions/sequences-and-series

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